学机器学习怎么可以不知道最小二乘法

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起源

起源:最小二乘法源于天文学和大地测量学领域。事先你你你这种三个多多领域对精度的高要求而被伟大的伟大的发明。

1301年,意大利天文学家朱塞普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。进行了40天的跟踪观测后,但事先谷神星运行到太阳转过身,失去了具体位置信息。很久 全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据现在现在开始 寻找谷神星,因此根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没人 结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·奥伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。高斯使用的最小二乘法的法律方法发表于1309年他的著作《天体运动论》中,你你你这种高斯正是著名数学家 卡尔·弗里德里希·高斯 ,没错什么都有有 亲戚朋友大学是 认识的那个高斯。

机器学习本质我我着实什么都有有 求最优解的过程,最小二乘法是回归算法中求最优解的法律方法之一,还有一三个多多是梯度下降法,之也有讲~。

思考

亲戚朋友在正式讲最小二乘法事先,读者大大们还时要想下下面你你你这种疑问图片临近中秋,小明你会此人 做月饼,现在已知你你你这种规格月饼所需的面粉重量如下:

月饼重量(g)面粉重量(g)
30 20
30 81
30 110
190 90
220 130

现在小明想做规格为140g的月饼,请问他时要十几只 克月饼现在读者大大们根据平时经验,还时要思考下为啥在么在求。九年义务教育给给你看见你你你这种题目就条件反射列方程求未知数,不知道读者大大们是也有也是另一三个多多~

原理

亲戚朋友从另一三个多多厚度来看你你你这种疑问图片亲戚朋友将这5个月饼用坐标系标出来,如下图 因此亲戚朋友先用画出两根接近这5个点的线,假设线性关系为

是也有因此亲戚朋友找出两根最接近这5个点的线就还时要了,另一三个多多算出来的值是最接近真实值的。

由图还时要得出,时要这条线跟你你你这种5个点的误差最小, 每个点跟线的误差如下所示

事先误差是长度,什么都有有要算绝对值,计算起来不方便,用平方来替代

最后将所有误差值累加得出

最小二乘法呼之欲出,这什么都有有 最小二乘法的原理了,即让误差的平方总和尽事先小。从求两根最接近这5个点的线的疑问图片转化成求最小化误差的疑问图片。

求解

没人 为啥在么在求呢,继续很久 面 的为例子。这是一三个多多二次函数。总误差的平方:

根据多元微积分,当

你你你这种事先 ϵ 取得最小值,求的a,b的解为

a,b求出后,这条最接近的线也就出来了

进一步现在假设这条线是 二次函数,结果如保

亲戚朋友还时要选者不同的 f(x),根据最小二乘法得出不一样的拟合函数。不过选者f(x)还是才能太随意,不然要么不准,要么容易过拟合。代码实现整个思路如下

目标函数:代入生成的x,生成对应的y

def real_func(x):
  return np.sin(2*np.pi*x)

随机生成10个x进行实验:

x = np.linspace(0, 1, 10)

构造多项式拟合函数:

#多项式
def fit_func(p,x):
    """
    eg:p = np.poly1d([2,3,5,7])

   print(p)==>>2x3 + 3x2 + 5x + 7
    """
    f = np.poly1d(p)
    return f(x)

计算误差:

#残差
def residuals_func(p, x, y):
    ret = fit_func(p, x) - y
    return ret

leastsq 是 scipy 库 进行最小二乘法计算的函数,也什么都有有 通过误差函数以及数据点进行亲戚朋友前面讲的对参数进行求导操作,最后得出亲戚朋友拟合出来的函数。

def fitting(M=0):
    """
    n 为 多项式的次数
    """    
    # 随机初始化多项式参数
    #numpy.random.rand(d0)的随机样本位于[0, 1)之间。d0表示返回十几只

个
    p_init = np.random.rand(M+1) #生成M+一三个多多随机数的列表
    # 最小二乘法
    p_lsq = leastsq(residuals_func, p_init, args=(x, y)) # 一三个多多参数:误差函数、函数参数列表、数据点
    print('Fitting Parameters:', p_lsq[0])
    
    # 可视化
    plt.plot(x_points, real_func(x_points), label='real')
    plt.plot(x_points, fit_func(p_lsq[0], x_points), label='fitted curve')
    plt.plot(x, y, 'bo', label='noise')
    plt.legend()
    return p_lsq
    
    # M=0
    p_lsq = fitting(M=0)

亲戚朋友从一次函数依次增加项式,找到最合适的拟合曲线。



到9次的事先,事先删改拟合哪几种点了 。

总结

亲戚朋友还时要看出,最小二乘法的原理我我着实非常简单,运用起来也简洁,应用广泛。因此它也有一定的局限性,比如事先拟合函数也有线性的,就无法用最小二乘法了。还有你你你这种,本文讲的最小二乘法是最简洁的,因此它对噪声的容忍度很低,容易造成过拟合,什么都有有还时要加进去去正则化,你你你这种有兴趣的读者还时要了解下。最小二乘法运用误差厚度求最优解的思路是亲戚朋友机器学习中一三个多多很经典也很常用的思维方向之一,为学习机器学习打下一三个多多好基础。这也是把它装入 亲戚朋友的机器学习系列最现在现在开始 的因为。

ps:时要删改代码,关注公众号,回复‘最小二乘法’获得~

本文首发微信公众号“哈尔的数据城堡”.